Este es un vídeo donde podemos ver los pasos para la Forma Algebraica del Método Simplex:
Ahora haremos el primer ejercicio de los propuestos en el vídeo anterior
Modelo:
Max z=3x1+2x2
s.a.
x1 + 2x2 ≤ 6
2 x1
+
x2 ≤ 8
-x1 + x2
≤ 1
x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
También podemos ver que el origen es parte de la región factible ya que las bi son ≥ a cero y todas las restricciones son ≤ a cero
Gráficamente se ve de la siguiente manera:
Podemos ver que el punto I es el punto óptimo
Pasamos a su forma estándar el modelo original queda como:
Max z=3x1+2x2
s.a.
x1 + 2x2 + x3
= 6 2 variables NO Básicas
2x1
+
x2 + x4
= 8
- x1
+
x2 + x5
= 1
x2 + x6 = 1
xi ≥0
Como el origen esta dentro de la región factible nuestra primera solución sera la siguiente:
x2 = 0
x4 = 8
x5 = 1
Ahora necesitamos cambiar una variable No básica por una básica así que si nos fijamos en los coeficientes de la función objetivo podemos ver que x1 tiene el coeficiente de mayor valor así que x1 ahora será una variable básica y para saber cual será la nueva variable no básica necesitamos despejar las restricciones y dejarlas en función a variables no básicas e igualarlas a cero para ver cual será la nueva variable no básica
| z=3x1+2x2 x3 = 6 - x1 - 2x2 x4 = 8 - 2x1 - x2 x5 = 1 + x1 - x2 x6 = 1 - x2 |
si x2 = 0
-----------> |
z=3x1+2x2 0 = 6 - x1 0 = 8 - 2x1 0 = 1 + x1 0 = 1 |
-----------> | x1 = 6
x1 = 4 x1 = -1 No se puede usar por la restricción de no negatividad |
Escogemos la de menor valor, ahora x1 = 4 y x4 = 0
Nuestras variables no básicas son x2 = x4= 0 y las básicas son x1 = 4 x3 = 2 x5 = 5 x6 = 1
Nuestro nuevo modelo debe de quedar en base a las variables no básicas por lo tanto despejamos a x4 y dejamos el modelo en base a x2 y x4 que son lasa variables no básicas el nuevo modelo queda de la siguiente manera:
z = 12 + 0.5x2 - 1.5x4
x3 = 2 - 1.5x2 + 0.5x4
x1 = 4 - 0.5x2 - 0.5x4
x5 = 5 - 1.5x2 - 0.5x4
x6 = 1 - x2
Podemos ver que en la función objetivo aun hay variables mayores a cero por lo tanto ahora x2 será una variable básica y tenemos que encontrar otra variable que sea no básica para eso igualamos a cero el sistema anterior y como x4= 0 despejamos para ver quien será la nueva variable no básica
0 = 2 - 1.5x2 x2 = 4/3 si x3 = 0
0 = 4 - 0.5x2 x2 = 8 si x1 = 0
0 = 5 - 1.5x2 x2 = 10/3 si x5 = 0
0 = 1 - x2 x2 = 1 si x6 = 0
0 = 2 - 1.5x2 x2 = 4/3 si x3 = 0
0 = 4 - 0.5x2 x2 = 8 si x1 = 0
0 = 5 - 1.5x2 x2 = 10/3 si x5 = 0
0 = 1 - x2 x2 = 1 si x6 = 0
Por lo tanto tomamos a x2 = 1 y x6 = 0 así que nuestra nueva variable no básica es x6
Nuestro nuevo modelo sera en base a x4 y x6 por lo tanto hay que dejarlo en base a estas variables y el modelo es el siguiente:
z = 12.5 - 0.5x6 - 1.5x4
x3 = 0.5 + 1.5x6 + 0.5x4
x1 = 3.5 + 0.5x6 - 0.5x4
x5 = 3.5 + 1.5x6 - 0.5x4
x2 = 1- x6
Podemos ver que en la función objetivo ya no hay variables con coeficiente mayor a cero por lo tanto ya encontramos la solución, en base a que x4 = x6 = 0 los valores de las variables son las siguientes:
z = 12.5
x1 = 3.5
x2 = 1
x3 = 0.5
x4 = 0
x5 = 3.5
x6 = 0
